Matemáticas: Integrales

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la diferencial de una función.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Leibniz y Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Terminología y notación

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe:

El signo ∫, una «S» alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

Matemáticas: Derivadas

La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto que se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Conceptos y aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del análisis matemático. Los otros son los de integral definida e indefinida, sucesión; sobre todo, el concepto de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y un después de tal concepto que biseca las matemáticas previas, como el álgebra, la trigonometría o la geometría analítica, del cálculo. Según Albert Einstein, el mayor aporte que se obtuvo de la derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales

La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.

Matemáticas: Asintotas

Hoy pasaremos a hablar de un apartado principal en la 2º evaluación de este curso, las asíntotas.

En matemática, se le llama asíntota de la gráfica de una función a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función;​ es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.
O que ambas presentan un comportamiento asintótico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico.

Historia y significado

La palabra asíntota deriva del griego. Se suele dar la definición de asíntota a una curva que «no se encuentran nunca».​ Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama de una hipérbola.

En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre funciones o partes de funciones: segmentos de recta, hojas de hipérbola o de parábola, etc. Es en este sentido que se habla de «recta asintótica» como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.

Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se formalizan con el concepto de límite matemático, y con ello también el cálculo de asíntotas.

Gráfica de asíntotas

Ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).

Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres tipos:

• Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = constante.
• Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante.
• Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.

Matemáticas: Matrices

Hoy pasaremos a hablar de un apartado principal en la 1º evaluación de este curso, las matrices.

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Los elementos individuales de una matriz «mxn», se denotan a menudo por «a_ij», donde el máximo valor de «i» es «m», y el máximo valor de «j» es «n». Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Cronología

Historia

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.​ En el capítulo séptimo, «Ni mucho ni poco», el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los «cuadrados mágicos» eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros «cuadrados mágicos» de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el año 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa’il Ihkwan al-Safa).​

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término «matriz» en 1848/1850.

En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

Propiedades de las matrices

Propiedades de la suma de matrices:

• Asociatividad
• Conmutatividad
• Existencia del elemento neutro aditivo
• Existencia del inverso aditivo

Propiedades del producto por un escalar:

• Asociatividad
• Distributividad respecto de la suma de matrices
• Distributividad respecto a la suma en el cuerpo
• Producto por el neutro multiplicativo del cuerpo

Propiedades del producto de matrices:

• Asociatividad
• Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha
• Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda

Matemáticas: Inecuaciones

Tras la opinión y resumen de la asignatura, pasamos a presentar un apartado del extenso temario de matemáticas de 2º de bachillerato.

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la cual los conjuntos (miembros) se encuentran relacionados por los signos (menor que),  (menor o igual que),  (mayor que) y  (mayor o igual que).

Clasificación de las inecuaciones

Existen diferentes tipos de inecuaciones. Estas, se pueden clasificar de acuerdo al número de incógnitas y de acuerdo al grado de ellas. Para saber el grado de una inecuación, basta con identificar el mayor ellos. Así, tenemos los tipos siguientes:

• De una incognita
• De dos incognitas
• De tres incognitas
• De «n» incognitas
• De primer grado
• De segundo grado
• De tercer grado
• De cuarto grado
• Inecuaciones de grado «N»

Operando con inecuaciones

Antes de resolver un ejemplo de inecuaciones, conviene indicar las siguientes propiedades:

• Cuando un valor que está sumando pasa a otro lado de la inecuación, se le pone un signo menos.
• Si un valor que está restando pasa al otro lado de la inecuación se le pone un signo más.
• Cuando un valor que está dividiendo pasa a otro lado de la inecuación, multiplicará a todo lo que haya en el otro lado.
• Si un valor está multiplicando pasa al otro lado de la inecuación, entonces pasará dividiendo a todo lo que haya en la otra parte.

Es indiferente, pasar de lado izquierdo a derecho o de derecho a izquierdo de la inecuación. Lo importante es no olvidar los cambios de signo. Además, no importa hacia qué lado despejemos las incógnitas.

Sistema de inecuaciones

En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones; también pueden aparecer más de una incognita. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Los sistemas de ecuaciones tienen esta pinta:

Los sistemas de ecuaciones tienen como solución una gráfica y unos vértices:

De la gráfica se sombrea la zona resultante y con ella se observen los vértices siendo estos los puntos de corte entre las rectas, los vértices se calculan cogiendo la ecuación asociada de la recta para la inecuación de las rectas implicadas, con ellas se resuelve un sistema y se extraen las coordenadas de los vértices.

Matemáticas de 2º Bach

Las matemáticas están presentes en la trayectoria de los planetas, en los cálculos de la teoría de la relatividad, en la estructura de los seres vivos, en los comportamientos sociales, en cualquier campo del conocimiento humano. Junto con otras ciencias, las matemáticas han sido capaces de describir el universo.

Este artículo se centrará en hablar de las matemáticas aplicadas a las CCSS (Ciencias Sociales) de 2º de Bachillerato, a través del temario del libro de SM, ya que representa el nivel más avanzado de matemáticas dentro de los estudios generales.

¿Para que sirven las matemáticas a estas alturas?

Mucha gente cuando se pregunta para que se cursan las matemáticas, la respuesta normalmente es que, es por cultura general; ¿Pero a estas alturas también? Pues la respuesta es no, la cultura general ya se acabó hace tiempo, cuando empezamos a dar cosas que no son aplicables en la vida cotidiana, ¿pero entonces porque se hace?

Pues bien la respuesta a la pregunta anterior es que sirve para prepararnos al mundo profesional, tanto en la E.S.O como en Bachillerato, ya que en la ESO te preparan para las matemáticas necesarias para cambiar a una F.P de grado medio como continuar con estudios generales como bachiller, dentro de bachiller al ser general se sigue dando matemáticas a un nivel mas avanzado y diverso ya que no hay ninguna orientación especifica, tras bachiller se pueden hacer dos cosas, F.P de grado superior como Universidad (Pasando por el proceso de selectividad o E.B.A.U) donde nuestros estudios serán necesarios, pero solo una parte de ellos.

Según mi opinión, ¿Qué me parecen las matemáticas?

Pues bien por mi parte las matemáticas son necesarias para estudios superiores, y así conseguir nuestros objetivos profesionales; además de ser una asignatura interesante al aplicarla a la vida real (como física o química) o a la vida cotidiana (Economía).